دانشگاه آزاد اسلامی
واحد تهران جنوب دانشکده تحصیلات تکمیلی
پایان نامه براي دریافت درجه کارشناسی ارشد ”M.Sc“
مهندسی برق – مخابرات (گرایش میدان و امواج)
عنوان :
آنالیز و شبیه سازي تقویت کننده یک طبقه مایکروویوي سیگنال کوچک با استفاده از روش FDTD
استاد راهنما :
دکتر منوچهر کامیاب حصاري
استاد مشاور :
دکتر فرخ حجت کاشانی
نگارش :
مریم اربابی اصفهانی
بهمن 1385
دانشگاه آزاد اسلامی
واحد تهران جنوب دانشکده تحصیلات تکمیلی
پایان نامه براي دریافت درجه کارشناسی ارشد ”M.Sc“
مهندسی برق – مخابرات (گرایش میدان و امواج)
عنوان :
آنالیز و شبیه سازي تقویت کننده یک طبقه مایکروویوي سیگنال کوچک با استفاده از روش FDTD
نگارش :
مریم اربابی اصفهانی
امضاء هیات داوران پروژه:
-1 استاد راهنما : دکتر منوچهر کامیاب حصاري………………………………………..
-2 استاد مشاور : دکتر فرخ حجت کاشانی…………………………………………………
-3 هیات ژوري : دکتر منصور شیخان……………………………………………………….
– 4 مدیر گروه : دکتر هوشنگ امین الهی…………………………………………………
تاریخ دفاع : 1385/11/30
تقدیم به :
پدر و مادر مهربان و دوست داشتنی ام.
با سپاس فراوان از تمامی استادان گرانقدر به ویژه :
جناب آقاي دکتر منوچهرکامیاب حصاري
و جناب آقاي دکتر فرخ حجت کاشانی.
فهرست مطالب
چکیده1
فصل اول : معرفی روش FDTD
-1-1 تاریخچه تکنیک FDTD در معادلات ماکسول6
-2-1 مشخصه FDTD و تکنیک هاي حوزة زمان شبکه مکانی مربوطه 7…………………………..
FDTD -3-1 در یک بعد8
-4-1 پایداري در روش 14FDTD
-5-1 تعیین اندازه سلول14
-6-1 شبیه سازي در سه بعد به روش FDTD در فضاي آزاد15
-7-1 خواص الکترومغناطیسی در مرز بین دو سلول17
-8-1 لایه تطبیق کامل 18PML
فصل دوم : مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD
-1-2 عناصر فشردة خطی27
-1-1-2 مقاومت29
-2-1-2 منبع ولتاژ مقاومتی30
-3-1-2 خازن32
-4-1-2 سلف32
-5-1-2 سیم یا اتصال33
-2-2 مدل کردن عنصر فشرده در بیش از یک سلول33
-3-2 مدل کردن عناصر اکتیو37
-4-2 روش FDTD بسط یافته39
-5-2 مدل گلوبال41
-6-2 روش منبع جریان معادل 48…………………………..
-1-6-2 فرمول بندي روش منبع جریان معادل49
-2-6-2 دستگاه هاي اکتیو خطی53
-3-6-2 دستگاه اکتیو غیر خطی56
فصل سوم : تقویت کننده مایکروویوي
-1-3عناصر مداري مایکروویو61
-1-1-3 مدارات عنصر فشرده61
-2-1-3 مدارات خط توزیع شده61
-2-3 تطبیق شبکه هاي مایکروویو 61…………………………..
-3-3 تقویت کننده هاي مایکروویو61
-1-3-3 تقویت کننده هاي مایکروویوي از نظر ساختار62
-2-3-3 تقویت کننده هاي مایکروویوي از نظر ساختار مداري62
-3-3-3تقویت کننده هاي مایکروویوي از نظر عملکرد62
-4-3 تقویت کننده یک طبقه مایکروویوي65
-5-3 مدل سیگنال کوچک 67MESFET
-1-5-3اندوکتانس هاي پارازیتیک 67…………………………..
-2-5-3 مقاومت هاي پارازیتیک68
-3-5-3خازن هاي درونی68
-4-5-3مقاومت با ر69Ri
-5-5-3ضریب هدایت متقابل69
-6-5-3زمان گذر69
-7-5-3مقاومت خروجی.70
فصل چهارم : طراحی و شبیه سازي تقویت کننده
-1-4 طراحی تقویت کننده سیگنال کوچک73
-1-1-4 شبکه تطبیق خروجی76
-2-1-4 شبکه تطبیق ورودي77
-2-4 مشخصات خط مایکرواستریپ 78…………………………..
-3-4 مشخصات شبکه FDTD در شبیه سازي80
-4-4 مدل سازي عنصر فعال80
-1-4-4 مدل منبع جریان85
-2-4-4 مدل منبع ولتاژ89
-5-4 محاسبه پارامترهاي 92S
-6-4 پروسه شبیه سازي94
نتیجه100
پیوست101
منابع و ماخذ. 102
چکیده انگلیسی106
فهرست شکل ها
:1-1 یک در میان قرار گرفتن میـدان هاي E و H از نظر زمـانی و مکانی در فرمـــول بندي
10FDTD
:2-1 سلول 15yee
:1-2 منبع ولتاژ مقاومتی که در جهت z مثبت قرار گرفته است.31
:2-2 مدار مربوط به عنصر فشرده که در چندین سلول yee واقع شده است..35
:3-2 مدل کردن ترانزیستور در شبکه 41FDTD
:4-2 دید فوقانی نیمی از ساختار 45GaAs MESFET
:5-2 تقویت کننده ترانزیستور GaAs و شبکه تطبیق46
:6-2 شبکه تطبیق ورودي47
:7-2 کوپلینگ در 47GaAs MESFET
:8-2 شبکه تطبیق خروجی 47…………………………..
:9-2 صفحه اکتیو ABCD در انتهاي خط مایکرواستریپ50
:10-2 نمایش مدار معادل لبه هاي سلول (i, j) در شبکه 51FDTD
:11-2 شبکه اکتیو و ختم شدگی آن به جریان دستگاه52
:12-2 مدار معادل سلول 52FDTD
:1-3 عملکرد سیگنال کوچک تقویت کننده 64…………………………..
:2-3 عملکرد سیگنال بزرگ تقویت کننده64
:3-3 نماي کلی تقویت کننده یک طبقه..65
:4-3 تقویت کننده در این پایان نامه66
:5-3 مدل 16 عنصري سیگنال کوچک 70MESFET
:6-3 ناحیه تخلیه زیر گیت71
:1-4 تقویـت کننده مایکــروویوي شبیه سازي شـده در این پایان نامـه با استفـاده از
MESFET مایکروویوي 77js8851
:2-4 مقادیر S اندازه گیري شده با استفاده از نرم افزار مایکروویو آفیس78
:3-4 خط مایکرواستریپ 79…………………………..
:4-4 (الف) قرار گرفتن منابع معادل جریان در روش معادل نرتن. (ب) مدار معادل فرم انتگرالی
قانون آمپر 81…………………………..
:5-4 (ج) قرار گرفتن منـابع ولتاژ معادل در روش معـادل تونن. (د) مدار معـادل فرم انتگرالی
قانون فاراد82
:6-4 پارامترهاي S به دست آمده حاصل از شبیه سازي 85…………………………..
:7-4 مدل منبع جریان معادل86
:8-4 منبع ولتاژ معادل89
:9-4 پارامترهاي S به دست آمده با استفاده از روش منبع ولتاژ معادل96
:10-4 پارامترهاي S به دست آمده با استفاده از روش منبع جریان معادل97
:11-4 پارامترهاي S حاصل شده از شبیه سازي در حوزه فرکانس با استفاده از 98MWO
چکیده١
چکیده:
در این پایان نامه از روش FDTD جهت شبیه سازي و آنالیز یک تقویت کننده مایکروویوي در فرکانس
10GHz، استفاده شده است. این تقویت کننده شامل منبع AC ، مدارات تطبیق ورودي و خروجی و
یک MESFET مایکروویوي JS8851 به عنوان دستگاه اکتیو می باشد. روش منابع جریان و منابع ولتاژ
معادل جهت مدل کردن عنصر فعال به کار رفته اند و با توجه به مدل سیگنال کوچک MESFET و
معادلات حالت مربوطه، شبیه سازي تمام موج با استفاده از روش FDTD انجام می شود و میدان هاي
الکتریکی و مغناطیسی در صفحات فعال به روز می شوند. در نهایت پارامترهاي اسکترینگ تقویت کننده
با استفاده از تبدیل فوریه پاسخ زمانی به دست می آیند. نتایج حاصل از شبیه سازي با دو روش معادل
ولتاژ و جریان با یکدیگر مقایسه شده اند. از آن جایی که این دو روش دوگان یکدیگرند توافق خوبی با
یکدیگر دارند. این نتایج با نتایج به دست آمده از روش فرکانسی با نرم افزار مایکروویوآفیس نیز مقایسه
شده اند.
مقدمه٢
مقدمه:
روش هاي عددي ابزاري بسیار مفید در شبیه سازي مسائل الکترومغناطیسی هستند. از این رو می توان
به روش ممان، روش عنصر محدود و روش تفاضلات محدود در حوزة زمان به عنوان مهم ترین این روش
ها اشاره کرد. روش عددي FDTD به دلیل قابلیت آن در شبیه سازي انواع شکل هاي پیچیده، بدون
نیاز به حل ماتریس هاي بزرگ، معادلات غیر خطی و معادلات انتگرالی پیچیده، نسبت به سایر روش
هاي ذکر شده از مزایایی برخوردار است. همچنین با استفاده از این روش می توان با یک بار اجراي
برنامه، پاسخ فرکانسی سیستم تحت بررسی را در باند وسیعی در اختیار داشت.
فصل اول :
معرفی روش FDTD
فصل اول: معرفی روش FDTD٣
مقدمه:
روش هاي عددي ابزاري بسیار مفید در شبیه سازي مسائل الکترومغناطیسی هستند. از این رو می توان
به روش ممان، روش عنصر محدود و روش تفاضلات محدود در حوزة زمان به عنوان مهم ترین این روش
ها اشاره کرد. روش عددي 1 FDTD به دلیل قابلیت آن در شبیه سازي انواع شکل هاي پیچیده، بدون
نیاز به حل ماتریس هاي بزرگ، معادلات غیر خطی و معادلات انتگرالی پیچیده، نسبت به سایر روش
هاي ذکر شده از مزایایی برخوردار است. همچنین با استفاده از این روش می توان با یک بار اجراي
برنامه، پاسخ فرکانسی سیستم تحت بررسی را در باند وسیعی در اختیار داشت. به طور کلی می توان با
یک بار اجراي برنامه، پاسخ فرکانسی سیستم تحت بررسی را در اختیار داشت. به طور کلی می توان به
مزایاي این روش نسبت به سایر روش هاي عددي اینچنین اشاره کرد.
١- این روش نیاز به حل معادلات انتگرالی ندارد و مسائل پیچیده بدون نیاز به معکوس سازي
ماتریس هاي بزرگ قابل حل هستند.
٢- این روش براي استفاده در ساختارهاي پیچیده، غیر همگن هادي یا دي الکتریک ساده است،
زیرا مقادیر ε، μ و σ در هر نقطه از شبکه قابل تعریف است.
Finite Difference Time Domain ١
فصل اول: معرفی روش FDTD٤
٣- نتایج حوزه فرکانس با استفاده از نتایج حوزه زمان بسیار ساده تر از روش معکوس گیري از
ماتریس به دست می آیند. بنابراین نتایج باند وسیع فرکانسی به راحتی محاسبه می شوند.
٤- این روش موجب استفاده از حافظه به صورت ترتیبی می شود.
اما این روش داراي معایبی نیز هست که عبارتند از:
١- مش بندي اجسام پیچیده دشوار است.
٢- از آن جایی که شبکه به شکل چهار گوش است، مسائل با سطوح منحنی را در بر نمی گیرد و
در مدل سازي آن با این روش با خطا مواجه خواهیم شد.
٣- در الگوریتم هاي تفاضل محدود، مقادیر میدان ها فقط در گره هاي شبکه مشخص است.
٤- براي دست یابی به دقت بالا در محاسبات، نیاز به اجراي برنامه در تعداد گام زمانی زیاد است که
سبب کندتر شدن اجراي برنامه می شود.
چند دلیل افزایش علاقه مندي به استفاده از FDTD و روش هاي حل محاسباتی مربوطه اش براي
معادلات ماکسول وجود دارد.
FDTD -1 از جبر غیر خطی استفاده می کند. با یک محاسبه کاملاً ساده، FDTD از مشکلات جبر
خطی که اندازة معادله انتگرالی حوزة فرکانس و مدل هاي الکترومغناطیسی عنصر محدود را به کمتر
از 106 میدان نامشخص الکترومغناطیسی محدود می کند؛ اجتناب می کند. مدل هاي FDTD با 109
میدان ناشناخته، اجرا می شوند.
فصل اول: معرفی روش FDTD٥
FDTD -2 دقیق و عملی می باشد. منابع خطا در محاسبات FDTD به خوبی شناخته شده اند و این
خطاها می توانند محدود شوند به گونه اي که مدل هاي دقیقی را براي انواع مسائل عکس العمل موج
الکترومغناطیسی فراهم کنند.
FDTD -3 طبیعتاً رفتار ضربه اي دارد. تکنیک حوزة زمان باعث می شود تا FDTD به طور مستقیم
پاسخ ضربه یک سیستم الکترومغناطیسی را محاسبه کند. بنابراین شبیه سازي FDTD می تواند شکل
موج هاي زمانی بسیار پهن باند یا پاسخ هاي پایدار سینوسی را در هر فرکانسی در طیف تحریک فراهم
کند.
FDTD -4 طبیعتاً رفتار غیر خطی دارد. با استفاده از تکنیک حوزة زمان، FDTD پاسخ غیر خطی یک
سیستم الکترومغناطیسی را محاسبه می کند.
FDTD -5 یک روش سیستماتیک می باشد. با FDTD می توان به جاي استفاده از معادلات انتگرالی
پیچیده از تولید مش براي مشخص کردن مدل یک ساختار جدید استفاده نمود. به عنوان مثال FDTD
نیازي به محاسبه توابع گرین مربوط به ساختار مورد نظر ندارد.
-6 ظرفیت حافظه کامپیوتر به سرعت در حال افزایش است. در حالی که این روش به طور مثبت تمام
تکنیک هاي عددي را تحت تاثیر قرار می دهد، این از مزیت هاي روش FDTD است که گسسته سازي
مکانی را روي یک حجم انجام می دهد، بنابراین نیاز به RAM بسیار زیادي دارد.
فصل اول: معرفی روش FDTD٦
-7 توانایی مصور سازي کامپیوترها به سرعت در حال افزایش است. در حالی که این روش به طور مثبت
تمام تکنیک هاي عددي را تحت تاثیر قرار می دهد. این از مزیت هاي روش FDTD است که آرایه گام
هاي زمانی از مقادیر میدان را براي استفاده در ویدئو هاي رنگی براي نمایش حرکت میدان مناسب می
سازد.
-1-1 تاریخچه تکنیکFDTD در معادلات ماکسول
جدول زیر بعضی از نشریات اصلی در این زمینه لیست شده اند که با مقاله Yee آغاز شده است.
بخشی از تاریخچه تکنیک FDTD براي معادلات ماکسول:
Yee :1966 اساس تکنیک عددي FDTD را براي حل معادلات کرل ماکسول در حوزة زمان و بر روي
شبکه مکانی مطرح کرد.
Taflove :1975 و Brodwin ملاك پایداري عددي را براي الگوریتم Yee و اولین روش FDTD حالت
پایدار سینوسی را از موج الکترومغناطیسی 2 و 3 بعدي در ساختار ماده را تشکیل دادند.
Holland :1977 و Kunz و Lee الگوریتم Yeeرا در مسائل EMP به کار بردند.
1891:Mur شرط مرزي جذب ABC مرتبه اول و دوم را براي شبکه Yeeبه کار برد.
Choi : 1986 و Hoeffer شبیه سازي FDTD از ساختارهاي موجبري را ارائه دادند.
فصل اول: معرفی روش FDTD٧
Sullivan :1988 اولین مدل FDTD سه بعدي از جذب موج الکترومغناطیسی توسط بدن انسان را
ارائه داد.
:1988 مدل FDTD یک مایکرواستریپ توسط Zhing ارائه شد.
:1990-91 مدل FDTD از پرمیتیویتی دي الکتریک وابسته به فرکانس توسط Kashiva و Luebbers
و Joseph ارائه شد.
:1992 مدل FDTD از عناصر مداري الکترونیکی فشرده در دو بعد به وسیله Sui بیان شد.
Berenger :1994 شرط مرزي جذب 1 PML را براي شبکه هاي FDTD دو بعدي مطرح کرد که به
وسیله Katz به سه بعد و توسط Re uter به پایانه هاي موجبري تفرقی منجر شد.
Schneider :1999 و Wagner آنالیز جامعی از پراکندگی شبکه FDTD مربوط به عدد موج مختلط را
بیان نمود.
-2-1 مشخصه FDTD و تکنیک هاي حوزة زمان شبکه مکانی مربوطه
FDTD و تکنیک هاي حوزة زمان شبکه مکانی وابسته به آن روش هاي حل مستقیم معادلات ماکسول
می باشند. این روش ها بر اساس نمونه برداري از میدان هاي الکتریکی E و مغناطیسی H در داخل و
اطراف ساختارمورد نظر و در دوره اي از زمان می باشند. نمونه برداري مکانی در ضریبی از طول موج می
Perfectly Match Layer ١
فصل اول: معرفی روش FDTD٨
باشد که به وسیله کاربر براي نمونه برداري صحیح از بالاترین فرکانس هاي مکانی میدان نزدیک ایجاد
می شود که این امر در فیزیک مسئله مهم است. معمولاً 20-10 نمونه در هر λ0 نیاز است. نمونه برداري
در زمان به گونه اي انجام می شود تا پایداري عددي الگوریتم تضمین شود.
به طور کلی، FDTD و تکنیک هاي مربوطه اش شیوه هاي گام زمانی می باشند که امواج
الکترومغناطیسی پیوسته در یک ناحیه مکانی محدود را به وسیله اطلاعات نمونه برداري شدة عددي در
فضاي اطلاعاتی کامپیوتر شبیه سازي می کنند. در فضاي شبیه سازي نامحدود، ABC 1 ها در صفحات
خارجی شبکه به کار می روند تا تمام امواج از محیط با انعکاس قابل چشم پوشی از منطقه خارج شوند.
FDTD -3-1 در یک بعد
ابتدا براي آشنا شدن با روش FDTD با ساده ترین حالت آغاز می کنیم و انتشار یک پالس را در فضاي
آزاد و در یک جهت بررسی می کنیم. معادلات کرل ماکسول در فضاي آزاد و در حوزه زمان به صورت
زیر می باشند:
(1-1)..× H1∂E∂tε0(2-1)..×E1−∂Hμ0∂t
Absorbing Boundary Condition ١
فصل اول: معرفی روش FDTD٩
E و H بردارهاي سه بعدي هستند، یعنی هر یک از دو معادله فوق نمایانگر سه معادله می باشند. ما با
حالت یک بعدي آغاز می کنیم، یعنی فقط مولفه هاي Ex و H y را در نظر می گیریم. در نتیجه خواهیم
داشت:
(3-1)∂H y1∂E.x∂zε0∂t(4-1)∂Ex.1−∂H y∂zμ0∂tمعادلات فوق مربوط به موج صفحه اي با میدان الکتریکی در جهتx و میدان مغناطیسی در جهت yاست که در جهت zمنتشر می شود.با استفاده از تقریب تفاضل مرکزي در مشتق هاي زمانی و مکانی داریم:1n1n11() − H y (k −H y (k k1(k)2(k) − Exn−2Exnn(5-1)22−.xε0t111n1nn1(k)2(k 1) − Exnn2Exnn.1−(H y (k k) −(k H y(6-1)22txμ0
در این دو معادله زمان با نماد n مشخص شده که به صورت زیر تعیین می شود:
t t t .n(7-1)
n 1 ، گام زمانی بعدي را نشان می دهد.
فصل اول: معرفی روش FDTD١٠
k نماد فاصله است که به صورت زیر مشخص می شود:
z z z.k(8-1)
فرض می شود که میدان هاي E و H از نظر زمانی و مکانی یک در میان واقع شده باشند. H از
آرگومان هاي k 12 و k − 12 براي نشان دادن این که مقادیر میدان H بین مقادیر میدان E واقع شده
اند استفاده می کند. این امر در شکل (1-1) به طور واضح نشان داده شده است. به طور مشابه n 12 و
n − 12 نشان می دهند که کمی بعد یا قبل از میدان واقع شده است.
1Exn−k2k k1k −111H nk kk −y221Exnn2k k1kk −1
شکل(: (1-1 یک در میان قرار گرفتن میدان هاي E و H از نظر زمانی و مکانی در فرمول بندي FDTD
معادلات (5-1) و (6-1) می توانند در الگوریتم تکرار به صورت زیر نوشته شوند:
(9-1)1n1nt1n−1nn() − H y (k −[H y (k 2 (k) −2 (k) ExEx22ε0 . x
فصل اول: معرفی روش FDTD١١
(10-1)1nn1nnt1n1nn12 (k)]1) − Ex2 (k [Ey) −) ) H y (k (k H yμ0 . x22
همان طور که در معادلات فوق مشاهده می شود محاسبات در زمان و مکان یک در میان می باشند. در
معادله (10-1) مقدار جدید Ex از مقدار قبلی Ex و جدید ترین مقادیر H y به دست آمده است. این یک
مثال ساده از الگوریتم FDTD است.
معادلات (9-1) و (10-1) بسیار مشابه می باشند، اما چون ε0 و μ0 از نظر مرتبه بزرگی بسیار متفاوت
می باشند، Ex و H y نیز از مرتبه بزرگی بسیار متفاوت خواهند بود. از این مشکل می توان با تغییر
متغیر زیر اجتناب نمود:
(11-1)Eε0~0μE Eبا جاي گزینی معادله (11-1) در معادلات (9-1) و (10-1) داریم:(12-1)1n1nt11~ n−1~ nn2)]y (k −) − H. x [H y (k 2μ0 .ε02 (k) −2 (k) ExEx(13-1)1~ nn1t ~ nn11n1nn12 (k)]1) − Ex2 (k x [Eyμ0 .ε02) −H y (k k) )2(k H xدر ابتدا xانتخاب می شود و سپس گام زمانی tبه صورت زیر تعیین می شود:(14-1)xt t2.c0که در آنc0 سرعت نور در فضاي آزاد است. بنابراین خواهیم داشت:
فصل اول: معرفی روش FDTD١٢
(15-1)10x 2.ct1x x c0 ..2xμ0 .ε0
آن چه در برنامه FDTD باید مد نظر قرار گیرد به شرح زیر است:
Ex -1 و H y در حلقه هاي جدا محاسبه می شوند و اینترلیوینگ که در بالا بیان شد در آن ها به کار
می رود.
-2 بعد از محاسبه مقادیر Ex سورس محاسبه می شود که می تواند منبع سخت یا نرم باشد. اگر منبع
مقدار مشخصی را به Ex اختصاص دهد، منبع سخت و اگر مقداري را به Ex در نقطه مشخصی اضافه
کند منبع نرم نامیده می شود.
به طور خلاصه انتخاب هاي زیر باید در روشFDTD انجام شود:-1استفاده از واحدهاي نرمالیزه شده:معادلات ماکسول به صورت زیر نرمالیزه می شوند.(16-1)Εε0~0μE E
فصل اول: معرفی روش FDTD١٣
دلیل استفاده از این نرمالیزاسیون سادگی در فرمول بندي می باشد. میدان هاي E و H مرتبه یکسانی
از مغناطیس دارند. این امر یکی از مزایایی می باشد که در فرمول بندي لایه تطبیق کامل PML به کار
می رود، که بخش ضروري در شبیه سازي FDTD می باشد.
PML -2 در شرایط مرزي:
شرایط مرزي جذب ABC مسائل مهمی در شبیه سازي FDTD می باشند. ABC از ایجاد انعکاس
در لبه هاي فضاي مسئله جلوگیري می کند. روش هاي مختلفی براي این کار وجود دارد، اما ما از روش
PML استفاده می کنیم.
-3به کار بردن معادلات ماکسول با چگالی شار:در فرمول بندي معادلات ماکسول در روشFDTD از فرمول هاي زیر استفاده می شود.(17-1)×H∂D∂t(18-1)D D εE(19-1)××E1−∂Hμ0∂t
در این فرمول بندي فرض شده که مواد شبیه سازي شده غیر مغناطیسی باشند، یعنی:
H H 1 B(20-1)

فصل اول: معرفی روش FDTD١٤
-4-1 پایداري در روش FDTD
یک موج الکترومغناطیسی که در فضاي آزاد منتشر می شود نمی تواند سرعتی بالاتر از سرعت نور داشته
باشد. براي انتشار موج در طول یک سلول حداقل زمان ممکنxt tخواهد بود. وقتی مسئله در دوc0بعد مطرح می شود زمان انتشار بهxt می باشد. این شرط به نام شرط کورانت معروف است، که2c0به صورت زیر بیان می شود.(21-1)xt ≤nc0که n بعد شبیه سازي می باشد.در این پروژه ما از تقریب زیر استفاده می کنیم:(22-1)xt t2c0
-5-1 تعیین اندازه سلول:
انتخاب اندازه سلول که در فرمول بندي FDTD به کار می رود مشابه هر روش تقریب است. باید
اطمینان حاصل شود که نقاط نمونه برداري براي جایگزین شدن به اندازة کافی می باشند. تعداد نقاط در
هر طول موج به عوامل زیادي بستگی دارد. یک تقریب خوب 10 نمونه در هر طول موج می باشد. یعنی:
(23-1)λ0x x10
فصل اول: معرفی روش FDTD١٥
-6-1 شبیه سازي در سه بعد به روش FDTD در فضاي آزاد:
شکل (2-1) نمونه اي از FDTD اصلی در سلول Yee را نشان می دهد. همان طور که در شکل نشان
داده شده است میدان هاي E و H به طور یک در میان در اطراف سلول Yee قرار گرفته اند که مبداء
آنها i, j, k می باشد. هر میدان E در فاصله 12 از مبداء و در جهت گرایش میدان قرار دارد و هر میدان
H در فاصله 12 از مبداء و درتمام جهت ها به غیر ازجهتی که امتداد یافته قرار گرفته است.
شکل : (2-1) سلول yee
فصل اول: معرفی روش FDTD١٦
حال با معادلات ماکسول آغاز می کنیم:
(24-1)~××H1∂D0εμ∂t0(25-1)~*~r (w).E(w)D(w) ε(26-1)~1∂H×Eμε−∂t00
در این جا از نماد ~ اجتناب می کنیم، اما همیشه فرض می کنیم که از مقادیر نرمالیزه شده استفاده می
کنیم.
از معادلات فوق شش معادله دیگر به دست می آید:
(27-1)
(28-1)
(29-1)
(30-1)
(31-1)
.( ∂∂Hyx − ∂∂Hzy )
.(∂∂Hzx − ∂∂Hxz )
.(∂∂Hxy − ∂∂Hyx )
.(∂∂Ezy − ∂∂Eyz )
.(∂∂Exz − ∂∂Ezx )
1∂Dxε0 μ0∂t1∂Dyε0 μ0∂t1∂Dzε0 μ0∂t1∂H xε0 μ0∂t1∂H yε0 μ0∂t
فصل اول: معرفی روش FDTD١٧
(32-1)(∂Ey−∂Ex).1∂H z∂x∂yμ0ε∂t0
اولین گام استفاده از تقریب تفاضل محدود می باشد. به عنوان مثال از معادلات (29-1) و (32-1)
استفاده می کنیم، سایر معادلات نیز به همین صورت نوشته می شوند.
) −1, j, k 1(H yn (i t(33-1)22x ε0 μ012) H xn (i, j − 12 , k 12)
1 nn11n−1
+ Dz 2 (i, j, k 2) Dz 2 (i, j, k 2)
+ H yn (i − 12 , j, k 12) − H xn (i, j 12 , k
11(Eynnt11 ,) ) H zn (i 11H znn, k) −(i 1, j 2, k) )j j(i, j, k 22ε0 μ022(34-1)x211, j 1, k) ) Exnn11, k) − Exnn11Eynn, j, k)(i 2(i 2(i, j 2222
-7-1 خواص الکترومغناطیسی در مرز بین دو سلول:
براي سلول هاي مرزي یعنی سلول هایی که در مرز بین دو محیط واقع شده اند خواص مغناطیسی
ازقبیل ضریب دي الکتریک و نفوذ پذیري مغناطیسی باید محاسبه شوند. افرادي از قبیل
Li, J.Kang, Shin روش متوسط گیري را براي به دست آوردن خواص الکترومغناطیسی در مرز دو
محیط غیر یکسان ارائه نموده اند. اولین فرضی که ما در این جا در نظر می گیریم عدم پیوستگی در
خواص الکترومغناطیسی در سطوح مشترك می باشد. البته این عدم پیوستگی باید به صورتی باشد که
فصل اول: معرفی روش FDTD١٨
میدان الکتریکی در فصل مشترك این چهار محیط واقع گردیده و میدان مغناطیسی در وسط هر سلول
باشد. قبل از پرداختن به روش متوسط گیري باید بدانیم که μz (i, j, k) ضریب نفوذپذیري است که از
آن براي محاسبه مقدار جدید میدان مغناطیسی در جهت محور z استفاده می کنیم. نفوذپذیري در مرز
بین دو محیط از رابطه زیر به دست می آید:
(35-1)[μzz (i, j, k) ) μzz (i, j, k −1)]1μz (i, j, k) 2در رابطه بالا منظور ازμzz نفوذپذیري در جهت z است. شرطی که در اغلب حالات آن را در نظر می
گیریم ایزوتروپیک بودن محیط است که با این فرض ضریب نفوذپذیري در جهت هر سه محور باهم
مساوي خواهند بود. منظور از این عبارت در رابطه زیر مشاهده می شود:
μzz (i, j , k) μyy (i, j, k) μxx (i, j, k) μ(i, j, k)(36-1)
آن چه در بالا دیدیم نحوه محاسبه ضریب نفوذپذیري بود که از آن در محاسبه مقدار جدید میدان
مغناطیسی استفاده می نماییم. اما پارامتر دیگري که جزو خواص الکترومغناطیسی محیط است ضریب
دي الکتریک است که از این پارامتر براي محاسبه مقدار جدید میدان الکتریکی استفاده می شود. نکته
اي که در این جا باید به آن توجه کرداین است که میدان الکتریکی روي یال سلول قرار دارد، در نتیجه
این میدان می تواند در نقطه مشترك مربوط به چهار محیط مختلف نیز واقع شود. در چنین شرایطی در
این نقطه ضریب دي الکتریک باز هم با فرض ایزوتروپیک بودن به صورت زیر به دست می آید:
فصل اول: معرفی روش FDTD١٩
(37-1)[ε(i, j, k) )ε(i, j −1, k) )ε(i, j, k −1) 1ε(i, j −1, k −1)]1ε(i, j, k) 4
-8-1 لایه تطبیق کامل [23] PML
وقتی یک موج در فضاي مورد نظر منتشر می شود، در نهایت به لبه هاي مکان مورد نظر می رسد. اگر
در برنامه هیچ شرط مرزي اي در نظر گرفته نشود، انعکاس هاي غیرقابل پیش بینی ایجاد می شود که
در نهایت به داخل بر می گردد و نمی توان تعیین کرد کدام موج، موج اصلی و کدام یک موج برگشتی
(انعکاسی) می باشد. بنابراین شرط مرزي جذب ABC در FDTD به کار می رود. روش هاي مختلفی
براي این منظور وجود دارد. یکی از موثرترین و قابل انعطاف ترین ABC ها، PML یا لایه تطبیق کامل
است که به وسیله Berenger ارائه شده است. ایدة اصلی به این صورت است: اگر یک موج در محیط A
منتشر شود و وارد محیط B شود، مقدار انعکاس به وسیله امپدانس هاي ذاتی در محیط به صورت زیر
مشخص می شوند:
(38-1)B−ηAηΓ ΓBηAη
این امپدانس ها با ثابت دي الکتریکی ε و پرمیبیلیتی μ در محیط مشخص می شوند:
(39-1)μη ηε
فصل اول: معرفی روش FDTD٢٠
فرض می کنیم μثابت باشد. آنگاه با تغییر ε از یک محیط به محیط دیگر، تغییر در امپدانس ایجاد می
شود و بخشی از پالس طبق معادله (38-1) منعکس می شود. اگر μ با ε تغییر کند، آنگاه η ثابت باقی
می ماند، در نتیجه Γ صفر می شود و هیچ انعکاسی اتفاق نمی افتد. این امر مشکل ما را حل نمی کند،
زیرا پالس در محیط جدید نیز به انتشار خود ادامه می دهد. بنابراین محیط جدید باید با تلفات باشد،
بنابراین پالس قبل از برخورد به مرز از بین خواهد رفت. بنابراین μ و ε در معادله (39-1) باید مختلط
باشند، زیرا بخش موهومی باعث می شود که موج از بین برود. یعنی . ε* ε σ
rrjωε0
حال معادلات ماکسول را در حوزة فرکانس تکرار می کنیم. (تبدیل فوریه در حوزة زمان انجام می شود و
dبه jw تبدیل می شود، اما روي مشتقات مکانی اثر ندارد.)dt(40-1)jwD j c0 .(.× H )(41-1)D(w) εr* (w).E(w)(42-1)jwH j −c0 ..× E
براي اعمال شرط مرزي ثابت هاي دي الکتریکی و مغناطیسی ساختگی را اضافه می کنیم. به عنوان
مثال براي دو معادله (40-1) و (42-1) داریم:
(43-1)(x∂H−∂H yjwε*Fx (x).ε*Fy ( y).ε*Fz−1 (z).Dz c0 (∂y∂x
فصل اول: معرفی روش FDTD٢١
(44-1)∂H y∂E(−xjwμ*Fx (x).μ*Fy ( y).μ*Fz−1 (z).H z c0 (∂x∂yچند نکته قابل توجه وجود دارد: اول آن که مقدارεFوابسته به چگالی شار D می باشد، اما به Eوابسته نیست.دوم آن که این مقادیر ساختگیεFوμF در سه جهت z و y و x مقادیري را به
معادلات (40-1) و (42-1) اضافه می کنند. و در نهایت آن که روي معادله (41-1) هیچ اثري ندارند.
Sack نشان داد که دو شرط براي PML وجود دارد:
-1 امپدانس با حرکت از محیط اصلی به محیط PML باید ثابت باقی بماند، یعنی:
μ*
η0 ηm ε xFx 1(45-1)
Fx
از آن جایی که واحدها نرمالیزه شده اند، امپدانس 1 است.
-2 در جهت عمود بر مرز، ثابت دي الکتریک و ثابت مغناطیسی مربوطه باید معکوس آن ثابت ها در
سایر جهات باشند، یعنی:
(46-1)
(47-1)
و فرض می کنیم هر یک از مقادیر فوق مختلط باشند، یعنی:
(48-1)
ε*FyFFFε*11Fz
μ*FyFFFμ1**Fz
FFεFmFFFσσεDm
jw 0
ε*Fx
μ*Fx
ε*Fm
فصل اول: معرفی روش FDTD٢٢
(49-1)
فرض می کنیم شرایط برقرار باشند تا شرط 1 مربوط به
(50-1)
(51-1)
و در نتیجه داریم:
σHmFmμμ*jwμ0FmSack برقرار شود:εFm μFm 1σDσHmσDmε0μ0ε0
σ(x)11(52-1)jwε0*Fxμ1η0 ηm σ(x)*μjwε011Fx
حال معادله (43-1) را می توانیم به صورت زیر بسط دهیم:
(53-1)
(54-1)
(55-1)
(56-1)
) )x∂H−∂H y).((z)zσ.(1.).Dz c0σ y ( y)).(1)(x)xσjw(1(∂y∂xjwε0jwε0jwε0.curl _ h1.σz (z)..curl _ h ccjwε000
I Dz 1jw .curl _ h
.I Dz )(z)zσc0 .curl _ h ).Dz σ y ( y)).(1)(x)xσjw.(1.ε0jwε0jwε0(1, j, k 1) − H yn (i −1, j, k 1curl _ h H yn (i i2222(1, k 1) ) H xn (i, j −1, k 1− H xn (i, j 2222
فصل اول: معرفی روش FDTD٢٣
(57-1)) )curl _ h1) ) I nDz−1 (i, j, k 1I nDz (i, j, k 22) ) gi2(i).gj2( j).0.5.curl _ h1(i, j, k 1) ) gi3(i).gj3( j).Dzn−1(i, j, k 1Dznn222(58-1)121(().I nDz (i. j, k gk1(kkk22که در آن:tD (i).1−σ(59-1)(2.ε0 )gi3(i) tD (i).11σ(2.ε0 )(60-1)1gi2(i) tD (i).11σ(2.ε0 )t.(1σD (K 1(61-1)2gk1(k k) )2.ε02
در محاسبه پارامترهاي f لازم نیست هدایت الکتریکی تغییر کند، یعنی می توانیم یک پارامتر کمکی به
نام X n به صورت زیر تعریف کنیم:(62-1)σ. tX n 2.ε0
هر چه قدر به PML می رویم، این مقدار افزایش می یابد، پس پارامترها به صورت زیر محاسبه می
شوند:
فصل اول: معرفی روش FDTD٢٤
(63-1))3 , i 1,2,…,length _ PMLiX n (i) 0.333* (length _ PML
توجه کنید که مقدار داخل پرانتز در معادله فوق بین 0 و 1 تغییر می کند و ضریب 0,333 به طور
تجربی به دست آمده به گونه اي که بزرگ ترین مقداري است که پایدار باقی می ماند. به طور مشابه
توان 3 در معادله (63-1) نیز بهینه ترین تغییرات را نشان می دهد. به طور مشابه اگر روابط را براي -1)
(44 نیز بنویسیم؛ داریم:
(64-1)
که در آن:
(65-1)
و
(66-1)
و
(67-1)
H znn12 (i i 12 , j 12 , k) fi3 (i i 12). f j3 ( j 12).H zn (i i 12 , j 12 , k) fi 2 (i i 12). f j 2 ( j 12).0.5.(curl _ e fk1 (k).I nhzh12 (i i 12 , j 12 , k))
I nhzh12 (i i 12 , j 12 , k) I nhz−12 (i i 12 , j 12 , k) curl _ e
, k)1(i, j 1, k) ) Eyn−1, j 1(i 1curl _ e −Eynn22222, j, k)1(i 1, j 1, k) − H xn−1(i 1Exnn2222
σD (k). tfk1 (k) 2.ε0
فصل اول: معرفی روش FDTD
(68-1)1) )1i2 (i t12.(1 1σ D (i (2.ε0 )2t.(11−σD (i (69-1)(2.ε0 )21i3 (i ) )t12.(11σD (i (2.ε0 )2
٢٥
f
f
در نتیجه با استفاده از پارامتر کمکی می توان مقادیر fو g را در محدوده زیر تعیین نمود:(70-1)from 0 to 0.333 ، fi1 (i) & f j1 ( j)(71-1)from 1 to 0.75، fi 2 (i), gi 2 (i), f j 2 ( j), g j 2 ( j)(72-1)from1 to 0.5، fi3 (i), gi3 (i), f j3 ( j), g j3 ( j)توجه داشته باشید که می توانیم با قرار دادنf j1 و fi1مساوي با صفر و با مساوي یک قرار دادن سایر
پارامترها شبیه سازي را در فضاي مسئله انجام دهیم و PML را در نظر نگیریم.
فصل دوم :
مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با
استفاده از روش FDTD
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٢٧
با پیشرفت کامپیوترها، روش FDTD به یک روش متداول براي آنالیز مسائل الکترومغناطیسی متفاوت،
شامل مدارات مایکروویوي تبدیل شد. وقتی اندازه مدارات مایکروویوي و فاصله بین عناصر مداري کوچک
تر می شود، کوپلینگ بین عناصر مداري که به فاصله کمی از هم قرار گرفته اند، آثار پیچیده اي را در
پرفورمنس مدار ایجاد می کند. مدل کردن صحیح دستگاه هاي اکتیو و یا پسیو فشرده و امواج
الکترومغناطیسی در شبیه سازي مداري بسیار مهم است. تحقیقات گسترده اي در مقالات ارائه شده که
هدف آن ها گسترش روش FDTD به گونه اي است که دستگاه هاي فشرده مایکروویوي را در آنالیز
تمام موج در بر بگیرد. این روش توسعه یافت تا جایی که مقادیر مداري یک دستگاه دو پایانه اي را در
این الگوریتم جاي داد. در زیر الگوریتم به کار رفته در شبیه سازي عناصر فشرده خطی بیان شده است.
در ابتدا مدل کردن عناصر فشرده شامل مقاومت، خازن، سلف و سیم ارائه می شود. در این جا روش
PicketMay را بررسی می کنیم.
-1-2 عناصر فشردة خطی [24]
در روش FDTD فرض می شود که عنصر فشرده با مولفه میدان E منطبق شود. عناصر فشردة خطی
عناصري همانند طول کوتاهی از سیم هادي کامل، مقاومت، خازن، سلف و منبع ولتاژ مقاومتی را در بر
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٢٨
می گیرد. براي هر عنصر فشرده می توان رابطه I −V در نظر گرفت. اختلاف پتانسیلی که بر روي عنصر
اعمال می شود باعث ایجاد جریانی می شود که از عنصر عبور می کند که همراه با تاخیر زمانی بسیار
کوتاهی می باشد که قابل چشم پوشی است. از آن جایی که به همراه عنصر فشرده مولفه هاي میدان E
نیز وجود دارد، جریان عنصر و نرخ تغییرات میدان E می تواند مقادیر مولفه هاي میدان H که میدان
E را در بر گرفته اند را تعیین کند. بنابراین، براي این که عنصر فشرده در مدل FDTD قرار بگیرد،
فقط مولفه میدان E مربوطه باید تعیین گردد. اساس فرمول بندي معادله به روز شده براي مولفه میدان
E مربوطه باید تعیین گردد. اساس فرمول بندي معادله به روز شده براي مولفه میدان E براي عنصر
فشرده، معادله کرل ماکسول می باشد.
(1-2)r∂r r.D××HHHHJJJ∂tفرض می کنیم میدانE مربوط به عنصر فشرده Ezn (i, j, k) باشد. آن گاه ولتاژV n به صورت زیر میباشد:(2-2)V n −Ezn (i, j, k). z
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٢٩
-1-1-2 مقاومت:
مقاومتی که در یک دي الکتریک با پرمیتیویتی ε و در جهت zقرار گرفته را در نظر می گیریم. ازV IR رابطهI −V مربوط به مقاومت در گام زمانی1n می تواند به صورت زیر نوشته شود:2(3-2)nnn1z1nn(i, j, k) ) Ez (i. j.k)).(EZ2 (i, j.k) I z2R
و چگالی جریان الکتریکی مربوطه به صورت زیر است:
1nn1(4-2)2 (i, j, k)I zJ Znn(i, j, k) )2x. y
معادلات (3-2) و((4-2 در معادله (5-2) جاي گزین می شوند و با استفاده از عملگرهاي تفاضل محدود
در گام زمانی1n nمجزا می شوند.2(5-2)r∂rrDJ JHHH∂t.(Eznn1 (i, j, k) ) Ezn (i, j, k)) )z1HHznn(i, j, k) )2(6-2)x. y.R2.(Eznn1 (i, j, k) − Ezn (i, j, k))εt
از طرفی
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣٠
1nn1nn(i, j, k)2(i, j, k) − H2H1nn−yy2 (i, j, k) ××HHzx(7-2)1nn1nn2 (i, j,−1, k)2 (i, j, k) − H xH xy
با مرتب کردن (7-2) معادله به روز شده براي Exnn1 (i, j, k) به دست می آید:
tzt.1−y2.Rε x].]× H znn1 (i, j, k) (8-2)ε].Ezn (i, j, k) )[Eznn1 (i, j, k) [zt.11zt.11x y2.Rεyx2.Rε
معادلات به روز شدة مشابه می تواند براي مولفه هاي میدان E یک مقاومت فشرده در جهت x و y به
دست آید.
-2-1-2 منبع ولتاژ مقاومتی:
شماتیک یک منبع ولتاژ مقاومتی که در جهت z مثبت واقع شده در شکل (1-2) نشان داده شده است.
فرض کنید که منبع ولتاژ مقاومتی فشرده با مولفه میدان Ezn (i, j, k) هم راستا باشد. رابطه I −V براي
منبع ولتاژ مقاومتی در گام زمانی n 12 می تواند به صورت زیر نوشته شود:
1Vsnnz1(9-2)2nnn1nn(i, j, k) ) Ez (i, j, k)) ).(Ez2 (i, j, k) I zRs2.RS
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣١
Vsn می تواند ثابتی باشد که منبع d.c را نشان دهد یا یک تابع سینوسی یا تابع پالسی یا هر تابع
اختیاري دیگري باشد.
شکل : (1-2) منبع ولتاژ مقاومتی که در جهت z مثبت قرار گرفته است.
با استفاده از روش هاي مشابه براي تشکیل معادله به روز شده براي مقاومت فشرده می توان نشان داد
که:
1tzt.1−(i, j, k) −].]× H znn2.Rε x yε].Ezn (i, j, k) )[Eznn1 (i, j, k) [2t z11zt.11(10-2)2.Rε x yx y2.Rε1ztV nnyRε x]2].[[szzt11yx2.Rε
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣٢
-3-1-2 خازن:رابطه I −V براي یک خازن به صورتdVI C می باشد. بنابراین براي یک خازن فشرده در جهتdtz با خازن C ، رابطه I −V در گام زمانی1n می تواند به صورت زیر نوشته شود.2(11-2)(Eznn1 (i, j, k) − Ezn (i, j, k))C. z(i, j, k) )1I znn2t
با استفاده از روش هایی مشابه آن چه ذکر شد، می توان نشان داد که معادله به روز شده براي میدان E
به صورت زیر می باشد:
nn1
).)× H z 2 (i, j, k)(12-2)
tεEznn1 (i, j, k) Ezn (i, j, k) (C. z11ε x y
-4-1-2 سلف:رابطه I −V براي یک سلف با فرض V (0) 0 به صورت زیر است:(13-2)∫0t V (τ)dτ1I ILبنابراین براي یک سلف فشرده در جهت z و با اندوکتانس L ،رابطهI −V در گام زمانی1n می2
تواند به صورت زیر نوشته شود:
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣٣
n1(14-2).∑Ezm (i, j, k)tz(i, j, k) )2I znnLmm1
با استفاده از روش مشابه آن چه قبلاً بیان شد، معادله به روز شده براي میدان به صورت زیر می باشد:
n2t)z.(1××HHznnt(15-2).∑Ezm (i, j, k)(i, j, k) −2Eznn1 (i, j, k) Ezn (i, j, k) x yεLεmm1
-5-1-2 سیم یا اتصال:
سیم هادي یا via ها در این جا به صورت یک عنصر فشردة PEC مدل می شوند یعنی میدان E
مربوط به اتصال هدایتی همیشه مساوي صفر خواهد بود.
-2-2 مدل کردن عنصر فشرده در بیش از یک سلول
با دنبال کردن روش هاي شناخته شده زیر، معادلاتFDTD را از فرم انتگرالی معادلات ماکسول بهدست می آوریم:(16-2)∂H .ds∫E.dl −∫μ.∂tsc(17-2)∂E.ds∫H.dl ∫J.ds ∫ε.∂tssc
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣٤
با ارزیابی انتگرال ها در سلول استاندارد Yee ، شکل (2-2) نشان می دهد که چگونه عنصر فشرده اي را
که در بیشتر از یک سلول FDTD قرار گرفته است را مدل کنیم. مفاهیم اصلی مورد نیاز براي ارتباط
مدل هاي مداري عنصر فشرده با مدل هاي میدان الکترومغناطیسی ارتباط بین میدان الکتریکی به ولتاژ
و میدان مغناطیسی با جریان می باشد.[1] در این زمینه H.dl در هر شاخه کنتور انتگرال گیري مربوط
به حلقه جریانی می باشد که در اطراف H طبق قانون دست راست حلقه زده است. (به عنوان مثال،
جریان حلقه اطراف H z (i. j.k) در طول مسیر mnopm در شکل (2-2) همچنین بخش سمت راست
(17-2) مساوي جریان هدایتی (عبارت اول) به علاوه جریان جا به جایی (عبارت دوم) از سطح s می
باشد. این دو جریان باید مساوي جریان کل باشند، که در سمت چپ نشان داده شده است. بنابراین به
منظور این که مدل عنصر فشرده را در معادلات FDTD جاي دهیم، جریان − Ic در شکل (2-2) به
سمت چپ معادله (17-2) اضافه می شود تا معادله زیر به دست آید:
(18-2).ds∂E∫H.dl − Ic ∫J.ds ∫ε∂tssc
از آن جایی که فرض می شود مدل عنصر فشرده تمام آثار توزیع مکانی را دارد، در نظر گرفته می شود
که هیچ حجمی را در فضاي FDTD اشغال نکند.
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣٥
با استفاده از مدار عنصر فشرده نشان داده شده در شکل (2-2)، معادلات FDTD را در چهار مرحله
بیان می کنیم:
١- محاسبه فرمول (16-2) با دنبال کردن مسیر اطراف لبه هاي وجه هر سلول .Yee
٢- محاسبه فرمول (16-2) در اطراف مسیر عبوري از مدار عنصر فشرده ( در شکل (2-2)،
.( abcda
٣- ارتباط Vc به Ic براي مدار عنصر فشرده خاصی که مدل شده است.
٤- محاسبه فرمول (18-2) در مسیر efghe در شکل .(2-2)
شکل : (2-2) مدار مربوط به عنصر فشرده که در چندین سلول yee واقع شده است (در این جا 3 سلول). و مسیر
انتگرالی مربوط به محاسبه یکی از مولفه هاي میدان . Ey (i 1, j, k) مثال ارائه شده مربوط به منبع ولتاژ مقاومتی
است که در خط چین نشان داده شده است.
فصل دوم: مدل کردن عناصر فشرده پسیو و اکتیو با استفاده از روش FDTD٣٦
چون اولین مرحله معادلات FDTD استاندارد را نتیجه می دهد، در این جا بیان نمی شود. مرحله 2
براي مدار شکل (2-2)، (با فرض این که مدار حجم صفر را در فضاي اطراف FDTD اشغال کرده است)
نتیجه می دهد:
Vc −( Ey (i i1, j 1, k ) Ey (i i1, j, k) Ey (i i1, j −1, k)). y(19-2)
براي مدار شکل (2-2)، مرحله سوم نتیجه می دهد:
(20-2)c−VVIc sRs
با جاي گزینی (19-2) در این رابطه و جاي گزینی آن نتایج در (18-2) و انتگرال گیري داریم:
z z (H xn (i, j, k 1) − H xn (i i1, j, k)). x(H zn (i, j, k) − H zn (i 1, j, k)).y(i 1, j, k).n(i 1, j, k) ) Enn1EVsn ∑Eyn (i i1, m, k). yyy−m≠ j−(21-2)2.RsRsk) Eyn (i i1, j, k) x y(Eynn1 (i 1, j,σ2j, k)) x yε(Eynn1 (i 1, j, k) − Eyn (i 1,tمشتقات زمانی در این معادله با تفاضل محدود پیش رو وEy (i i1, j, k)متوسط زمانی می باشد، اما
سایر عبارات Ey متوسط زمانی نیستند. اولین عبارت سمت راست عبارت متوسط زمانی به دست آمده
از J σE و عبارت دوم از ∂∂tE به دست می آید. براي به دست آوردن مقدار جدید Ey از (21-2)
معادله (22-2) به دست می آید. ارتباطات مشابه (22-2) براي مدارات دیگر به راحتی به دست می آید،
فصل دوم: مدل کردن عناصر



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه

پاسخ دهید