دانشگاه آزاد اسلامي
واحد تهران مرکزي
دانشکده علوم پایه
پایان نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد (M.Sc. )
گرایش : فیزیک نجومی
عنوان : پیشرفت های اخیر در مدل های تورمی
استاد راهنما : دکتر فرهاد دارابی
استاد مشاور : دکتر سپهر اربابی بیدگلی
پژوهشگر : هادی پورجوادی یوسف آباد
تابستان 1393
این پایان نامه تقدیم می شود به همه معلمانی که شمع وجودشان روشنگر راه حقیقت است.
به نام هستی بخش
این پایان نامه تلاشی کوچک در راه گسترش علم است، با این همه فرصتی بزرگ بود تا بتوانم از دیدگاهی عمیق تر و دقیق تر به علم زیبای فیزیک بنگرم. در این جا باید سپاسگزار باشم از:
جناب آقای دکتر فرهاد دارابی که با وجود مشغله بسیار زیاد قبول زحمت فرمودند و راهنمایی این پایان نامه را قبول کردند.
جناب آقای دکتر سپهر اربابی، معلمی که علاوه بر آموزش مباحث علمی، شیوه مطالعه و تحقیق را به من آموخت و از مشاوره و راهنمایی و دلگرمی ایشان در طول نگارش این پایان نامه همیشه بهره مند بودم.
از خانم دکتر رقیه حاجی بلند، خاله عزیز و مهربانم که پاسخ گوی سوالات من بودند نیز نهایت سپاس را دارم.
جا دارد تا از همکاری و کمک های برادر عزیزم آقای حامد پورجوادی هم تشکر و قدر دانی کنم.
هم چنین یادی می کنم از معلم فقیدم، مرحوم چاپانی که علاقه به فیزیک را در دوران دبیرستان در من به وجود آورد.
عرض ادب و احترام دارم خدمت استاد جواد شکوری که مسائلی ورای فیزیک را به من آموخت.
و در نهایت باید از پدر بزرگوار و مادر مهربانم که در همه مراحل زندگی مدیون محبت ها و دلسوزی های آنها هستم تشکر کنم و دست هر دوی آنها را به رسم ادب ببوسم.
با آرزوی آبادی و پیشرفت سرزمین زیبایم.
تعهد نامه اصالت پایان نامه کارشناسی ارشد
اینجانب دانش آموخته مقطع کارشناسی ارشد ناپیوسته به شماره دانشجویی در رشته که در تاریخ
از پایان نامه خود تحت عنوان :
با کسب نمره و درجه دفاع نموده ام بدینوسیله متعهد می شوم:
این پایان نامه حاصل تحقیق و پژوهش انجام شده توسط اینجانب بوده و در مواردی که از دستاوردهای علمی و پژوهشی دیگران (اعم از پایان نامه ،کتاب ،مقاله و…) استفاده نموده ام ، مطابق ضوابط و رویه های موجود ، نام منبع مورد استفاده و سایر مشخصات آن را در فهرست ذکر و درج کرده ام.
این پایان نامه قبلاً برای دریافت هیچ مدرک تحصیلی (هم سطح ،پایین تر یا بالاتر )در سایر دانشگاهها و موسسات آموزش عالی ارائه نشده است.
چنانچه بعد از فراغت ازتحصیل ، قصد استفاده و هر گونه بهره برداری اعم از چاپ کتاب،
ثبت اختراع و …. از این پایان نامه داشته باشم ، از حوزه معاونت پژوهشی واحد مجوزهای مربوطه را اخذ نمایم.
چنانچه در هر مقطع زمانی خلاف موارد فوق ثابت شود ، عواقب ناشی از آن را بپذیرم و واحد دانشگاهی مجاز است با اینجانب مطابق ضوابط و مقررات رفتار نموده و در صورت ابطال مدرک تحصیلی ام هیچگونه ادعایی نخواهم داشت.
نام و نام خانوادگی :
تاریخ و امضاء
بسمه تعالی
در تاریخ :
دانشجوی کارشناسی ارشد آقای/خانم از پایان نامه خود دفاع نموده و با نمره بحروف و با درجه
مورد تصویب قرار گرفت .
بسمه تعالي
دانشکده علوم پایه
(اين چكيده به منظور چاپ در پژوهش‌نامه دانشگاه تهيه شده است»
نام واحد دانشگاهي: تهران مركزي کد واحد: 101كد شناسايي پايان‌نامه: عنوان پايان‌نامه: پیشرفت های اخیر در مدل های تورمینام و نام خانوادگي دانشجو: هادی پورجوادی یوسف آباد
شماره دانشجوئي: 900715931
رشته تحصیلی: فیزیکتاريخ شروع پايان‌نامه:
تاريخ اتمام پايان‌نامه: استاد / استادان راهنما: دکتر فرهاد دارابی
استاد/استادان مشاور: دکتر سپهر اربابی بیدگلیآدرس و شماره تلفن : 09143176673چکیده پایان نامه (شامل خلاصه، اهداف، روش های اجرا و نتایج به دست آمده):
مدل استاندارد کیهان شناسی دچار مشکلاتی مانند مسئله افق، مسئله تخت شدگی و مسئله تک قطبی مغناطیسی بود. سناریوی تورمی که برای اولین بار توسط ” آلن گوث” معرفی شد، توانست توجیه مناسبی برای حل این مشکلات باشد. پس از اولین مدل تورمی، سناریوهای گوناگون دیگری نیز ارائه شده اند. شواهد رصدی در مورد تابش میکرو موج پس زمینه کیهانی افق های جدیدی را بر روی کیهان شناسان و متخصصان سایر حوزه ها گشوده است. در این تحقیق ما برخی مدل های مشهور تورمی را به تفصیل مورد مطالعه قرار می دهیم.علاوه بر این با تجزیه و تحلیل شواهد رصدی اخیر رصدخانه “بایسپ 2” و ماهواره “پلانک” و بااستفاده از پارامترهای r (نسبت اختلالات تانسوری به اسکالر) و n_s (پارامتر اندیس طیفی)، میزان تطابق پیش گویی های برخی مدل های معروف با شواهد رصدی مورد بررسی و ارزیابی قرار می گیرد.
واژگان کلیدی: تورم، کیهان شناسی استاندارد، معادلات اینشتین.
مناسب است
نظر استاد راهنما براي چاپ در پژوهش‌نامه دانشگاه تاريخ و امضاء:
مناسب نیست
فهرست مطالب
مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….1
فصل اول: مبانی ریاضی کیهان شناسی استاندارد…………………………………………………………………………………………………………2
1-1 کیهان شناسی ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….3
1-2 اصل کیهان شناختی ………………………………………………………………………………………………………………………………………3
1-3 استفاده از تعبیر ریاضی اصل کیهان شناختی برای رسیدن به مدل فریدمن …………………………………………………………….5
1-4 متریک رابرتسون- واکر ………………………………………………………………………………………………………………………………..8
1-5 معادلات اینشتین ………………………………………………………………………………………………………………………………………….13
1-6 مدل فریدمن ………………………………………………………………………………………………………………………………………………15
فصل دوم: مشکلات مدل استاندارد…………. …………………………………………………………………………………………………………..19
2-1 کیهان شناسی استاندارد ………………………………………………………………………………………………………………………………20
2-2 جهان در حال انبساط …………………………………………………………………………………………………………………………………21
2-3 مسئله تخت بودن ………………………………………………………………………………………………………………………………………24
2-4 مسئله افق ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….25
2-5 مسئله تک قطبی مغناطیسی ………………………………………………………………………………………………………………………….26
فصل سوم: مدل تورمی “آلن گوث” رهیافتی برای برون رفت از مشکلات مدل استاندارد ……………………………………………27
3-1 مدل تورمی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………28
3-2 ساز و کار مدل تورمی گوث ………………………………………………………………………………………………………………………..32
3-3 جهان تورمی ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….38
3-4 مشکلات سناریوی جهان تورمی گوث …………………………………………………………………………………………………………..46
فصل چهارم: مدل تورمی جدید- مدل تورمی آشوبناک……………………………………………………………………………………………..48
4-1 مدل تورمی جدید ……………………………………………………………………………………………………………………………………….49
4-2 نظریه SU(5) در مدل Coleman-Weinberg و سناریوی تورمی جدید ……………………………………………..55
4-3 سناریوی پالایش شده مدل تورمی جدید ………………………………………………………………………………………………………59
4-4 مشکلات مدل تورمی جدید …………………………………………………………………………………………………………………………64
4-5 سناریوی تورمی آشوبناک …………………………………………………………………………………………………………………………….65
4-6 مدل پایه …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..76
4-7 شرایط اولیه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….82
فصل پنجم: آخرین شواهد رصدی در مورد تورم کیهانی…………………………………………………………………………………………..84
5-1 مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….85
5-2 پتانسیل های درجه 2 و درجه 4 تصحیح شده تابشی ……………………………………………………………………………………….88
5-3 پتانسیل هیگز ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..92
5-4 پتانسیل Coleman-Weinberg ……………………………………………………………………………………………………….94
5-5 پتانسیل با توان چهار همراه با جفت شدگی گرانشی غیر کمینه …………………………………………………………………………97
مراجع …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….100
چکیده انگلیسی………………………………………………………………………………………………………………………………………………….103
مقدمه
در سال 1915 میلادی آلبرت اینشتین نظریه نسبیت عام خود را معرفی کرد. این نظریه، جایگزینی برای قوانین کلاسیکی گرانش نیوتون بود. به مرور زمان این نظریه درستی خود را با شواهد تجربی به اثبات رساند. یکی از مهم ترین کاربردهای این نظریه در کیهان شناسی است. بنابراین شناخت اولیه ای از نحوه کاربرد نظریه نسبیت عام در کیهان شناسی ضروری به نظر می رسد که در این پایان نامه به آن اشاره شده است . هم چنین مباحثی به صورت خلاصه در مورد کیهان شناسی استاندارد ارائه شده است. کیهان شناسی استاندارد استوار بر سه فرض اصلی بر این امر اشاره دارد که جهان پس از یک انفجار مهیب اولیه ” مهبانگ” در حال گسترش است. با وجود تمام موفقیت های اولیه مدل استاندارد کیهان شناسی، ابهاماتی وجود داشتند که در ابتدا توجیه مناسبی برای آن ها یافت نشده بود. مدل تورمی که برای اولین بار توسط “آلن گوث” مطرح شد تلاشی جسورانه و هوشمندانه برای رفع مشکلات چند گانه ی مدل استاندارد مهبانگ بود. بر اساس سناریوی پیشنهادی “گوث” جهان در مراحل اولیه تحول خود شاهد یک انبساط بسیار سریع از نوع نمایی بوده است. مدل تورمی “گوث” با وجود بدیع بودن، خود دچار ابهاماتی بود که “آندره لینده”، دانشمند روس، با ارائه مدل های تورمی جدید این ابهامات را رفع کرد. مدل “لینده” بر یک انبساط نمایی فوق العاده سریع در لحظات اولیه تحول جهان تاکید دارد. از زمانی که “گوث” اولین مدل تورمی را ارائه داد، مدل های زیادی توسط فیزیک دانان و کیهان شناسان ارائه شده اند. با این وجود مدل هایی ارزشمند خواهند بود که از آزمون مشاهدات رصدی نیز سربلند بیرون آیند و بتوانند پیش بینی های مختلف را در محدوده های زمانی گوناگون برآورده سازند.
در این پژوهش، پس از مطالعه برخی ازمدل های تورمی شناخته شده با جزئیات کافی، با استفاده از داده های رصدی اخیر رصد خانه “بایسپ 2” و ماهواره “پلانک” ، این مدل ها مورد بررسی و بازنگری قرار گرفته اند.
فصل اول
مبانی ریاضی کیهان شناسی استاندارد
1-1 کیهان شناسی
«مطالعه دینامیکی ساختار عالم به عنوان یک کل». این شاید ساده ترین تعریف از کیهان شناسی باشد [1].
در این صورت ستارگان، کهکشان ها و حتی خوشه های کهکشانی به عنوان اجزایی در نظر گرفته می شوند که با مطالعه آنها بتوان به روند کلی تحول عالم پی برد.
اگر بخواهیم در مورد کیهان شناسی مطالعه ای داشته باشیم، شاید بهترین روش ارائه مدل های ریاضی باشد که با شواهد رصدی نیز سازگار باشند. نظریه نسبیت عام آلبرت اینشتین مدلی ریاضی ارائه می دهد که به تجربه ثابت شده است که می تواند به بسیاری از سوالات در مورد کیهان شناسی پاسخ دهد. با توجه به موفقیت های این نظریه و کاربردهای وسیع آن در کیهان شناسی، مطالعه این علم بدون نظریه نسبیت اینشتین غیر ممکن به نظر می رسد.
در این فصل سعی خواهیم کرد با تکیه بر اصل کیهان شناختی به یک مدل ریاضی برسیم که این مدل بتواند توجیه مناسبی برای بسیاری از مشاهدات رصدی در کیهان شناسی باشد.
1-2 اصل کیهان شناختی1
این اصل بر این امر تاکید دارد که جهان ما در مقیاس بسیار بزرگ( گیگا پارسک) دارای دو ویژگی است. همگن بودن وهمسانگرد بودن [1].
همسانگردی 2
به زبان ریاضی همسانگردی یعنی ناوردایی تحت چرخش. یا به عبارت دیگر اگر یک ویژگی همسانگرد باشد با چرخش محورهای مختصات این ویژگی تغییر نخواهد کرد.
همگنی3
به زبان ریاضی می توان گفت که همگنی به معنای ناوردایی تحت انتقال است. یا به عبارت دیگر ویژگی مورد نظر ما با انتقال از یک مختصات به مختصات دیگر تغییر نخواهد کرد.
اما تعبیر همگن بودن و همسانگرد بودن در کیهان شناسی به این معنا است که عالم در مقیاس بسیار بزرگ دارای این ویژگی است که : عالم در تمام نقاط یکسان بنظر می رسد واز هر جهتی که به آن نگاه کنیم این یکسان بودن پابرجا خواهد بود. به عبارت دیگر هیچ جهت خاص و هیچ ناظر خاصی (مرجحی) وجود ندارد.
البته باید توجه داشت که این همگن بودن و همسانگردی به این معنا نیست که ما با یک جهان ایستا و ساکن روبرو هستیم. جهان با گذشت زمان به حرکت وتحول خود ادامه می دهد اما همگنی و همسانگردی خود را هم حفظ می کند .
شواهد رصدی اصل کیهان شناختی را مورد تائید قرار میدهند:
یکی از دلایل مهم برای همسانگردی جهان وجود تابش زمینه کیهانی CMB4 است. پنزیاز5 و ویلسن6 در سال 1965 تابش زمینه کیهانی را کشف کردند [2].
آنها تابشی با دمای 2.7 درجه کلوین را ردیابی کردند که از تمام جهات آسمان ساطع می شد. این تابش با دقت یک درصد همسانگرد است.
برای همگن بودن هم هابل7 با مشاهدات دقیق خود توانست نشان دهد که کهکشان ها با سرعتی زیاد در حال دور شدن از هم هستند و می توان با توجه به قانون معروف هابل این همگنی را در زمان های مختلف ردیابی کرد [3].
1-3 استفاده از تعبیر ریاضی اصل کیهان شناختی برای رسیدن به مدل فریدمن [4] ،[5] .
بردارهای کیلینگ8
متریک g_ab را در نظر می گیریم. اگر بخواهیم ای متریک تحت یک انتقال مانند : x^’a →x^a ناوردا باقی بماند باید داشته باشیم : g_ab (x)=(∂x^’c)/(∂x^a ) (∂x^’d)/(∂x^b ) g_cd (x^’) که البته حالتی بسیار عمومی دارد.
اما اگر تمرکز خود را به یک انتقال بسیار کوچک مختصات معطوف کنیم، یعنی داشته باشیم :
x^i→x^i+ξ^i
که انتقال از نقطه P به نقطهP^’ است. آن گاه می توان نوشت :
g_ik (x_p^l )→g_ik (x_p^l+ξ_p^l )
حال تساوی به صورت زیر را برقرار می کنیم تا شرط ناوردایی را داشته باشیم :
g_mn^’=(∂x^i)/(∂x^’m ) (∂x^k)/(∂x^’n ) g_ik (x_p^l+ξ_p^l)
از آنجا که ξ^i بسیار کوچک است می توان با بسط تیلور و صرف نظر کردن از توان های بالا، معادله بالا را به صورت زیر تقریب زد
(∂x^i)/(∂x^’m ) |_P≅δ_m^i+ξ_(p,m)^i
g_ik(x^l+ξ_p^l)≅g_ik(x^l)+ξ_p^l g_(ik,l)(x_p^l)
g_mn^’ (P^’ )=g_mn (P)+[ξ^l g_(mn,l)+ξ_(,m)^l g_ln+ξ_(,n)^l g_lm ](P)
واضح است برای اینکه در انتقال از P بهP^’ متریک ناوردا باقی بماند باید جمله سمت راست معادله بالا صفر باشد یعنی :
ξ^l g_(mn,l)+ξ_(,m)^l g_ln+ξ_(,n)^l g_lm= 0
صورت دیگر معادله بالا به این شکل خواهد بود :
ξ_(m;n)+ξ_(n;m)=0
دو معادله پایانی به معادلات کیلینگ معروفند و بردارξ نیز بردار کیلینگ نامیده می شود.
اگر در فضا ـ زمانی انتقالی مانند بالا صورت بگیرد و معادله کیلینگ برقرار باشد، می توان گفت که این فضا ـ زمان دارای تقارن9 است.
اگر فضا ـ زمانی بردارهای کیلینگ خود را داشته باشد و معادله بالا را ارضا کند می توان گفت که یک حالت ایزومتری خواهیم داشت.
به عنوان مثال می توان برای مختصات قطبی کروی ، θ,φ معادله کیلینگ را برای ξ^θ وξ^φ نوشت و بردارهای کیلینگ مستقل را بدست آورد.
ds^2=〖dθ〗^2+〖sin〗^2 θdφ^2
ξ^θ=A sin⁡φ+B cos⁡φ ξ^φ=(A cos⁡φ-B sin⁡φ ) cot⁡θ+C
که ضرایب A ,B ,C را می توان بدست آورد.
حال می خواهیم همگنی و همسانگردی را از نگاه دیگری تعریف کنیم [5].
همگنی: یک فضا – زمان را می توان همگن نامید در صورتی که در آن یک حالت ایزومتری در انتقال بسیار کوچک از نقطه P به نقطه P’،که این دو نقطه در نزدیکی هم قرار دارند، برقرار باشد.
به عبارت دیگر بردار کیلینگ در نقطه P بتواند هر مقدار ممکن را بگیرد و بتوانیم در این نقطه nبردار مستقل خطی کیلینگ را انتخاب کنیم و با انتخاب مناسب در هر نقطه X دلخواه در نزدیکی Pبردار کیلینگ را نوشت.
(lim)┬(X→P)⁡〖ξ^((k) ) 〗 (X,P)=δ_i^k (k=1,2,….,n)
می توان با ادامه دادن این جابجایی های کوچک، از نقطه P به هر نقطه دلخواه P^’ رسید.
همسانگردی : فضا ـ زمان Mبه شرطی در نقطه داده شده Pهمسانگرد است که بردار کیلینگ ξ_i در همسایگی Pوجود داشته باشد بطوریکه ξ_i (P)=0 و ξ_(i;k) (P) فضا را به صورت یک تانسور پاد متقارن مرتبه دو در نقطه Pپوشش دهد.
این معادل این است که معادله کیلینگ برابر صفر شود.
ξ^l g_(mn,l)+ξ_(,m)^l g_ln+ξ_(,n)^l g_lm= 0
بنابراین باید نتیجه گرفت که اگر متریکی داشته باشیم که آن متریک به همراه بردارهای کیلینگ خود در معادله کیلینگ صدق کند، این فضا همگن و همسانگرد است و بالعکس.
1-4 متریک رابرتسون – واکر
با توجه به اصل کیهان شناختی، در مقیاس بسیار بزرگ ما جهانی همگن و همسانگرد را مشاهده می کنیم. همانطور که اشاره شد این همگنی و همسانگردی می تواند به لحاظ ریاضی مورد توجه قرار بگیرد. یکی از مدلهایی که می توان برای شکل کلی جهان و روند تحول آن متصور شد، یک فضای متقارن کروی است.
این فضای متقارن را می توان به صورت یک کره در نظر گرفت. همان طور که گفته شد همگنی و همسانگردی در حالت ایستا معنا دارد، یعنی در طول زمان و افزایش شعاع این همگنی و همسانگردی تغییر می کند. بنابراین می توان حالت دو بعدی را برای این کره در نظر گرفت که فقط θ و φ که زوایای قطبی و سمتی هستند تغییر می کنند. از آنجا که با دو بعد سر و کار داریم باید سه بردار کیلینگ داشته باشیم [6].
می توان نشان دادکه این سه بردار عبارتند از :
ξ_1^μ=(0 , 0 ,-sin⁡φ ,-cot⁡θ cos⁡φ )
ξ_2^μ=(0 , 0 ,〖 cos〗⁡φ, 〖-cot〗⁡θ sin⁡φ )
ξ_3^μ=(0 , 0 , 0 , 1 )
این بردارها خاصیت همسانگردی را تایید می کنند.
هم چنین می توان نشان داد که عنصر خطی برای این تقارن کروی به صورت زیر است :
〖ds〗^2=-e^2ν c^2 〖dt〗^2+e^2λ 〖dr〗^2+r^2 (〖dθ〗^2+〖sin〗^2 θdφ^2 )
حال برای یافتن متریک مورد نظر معادله کیلینگ را برای این مورد حل می کنیم
g_(μν,λ) ξ^λ+g_μλ ξ_( ,ν)^λ+g_λν ξ_( ,μ)^λ=0
به عنوان مثال برای ξ_3^μ داریم :
g_(μν,3)=0
و
∂/∂φ g_μν=0
برای μν=00 داریم:
g_00,2 (-sin⁡φ )+g_00,3 (-cot⁡θ cos⁡φ )=0
g_00,2 〖sin〗^2 φ=-g_00,3 cot⁡θ cos⁡φ sin⁡φ
با حل همه این معادلات سرانجام می توان به ماتریس زیر رسید :
g_μν=(■(■(g_00 (r,t)& g_01 (r,t)@g_10 (r,t)& g_11 (r,t))&■(0 &[email protected] &0)@■(0& [email protected]& 0)& ■(g_22 (r,t)& 0 @0&g_22 (r,t) 〖sin〗^2 θ)))
و عنصر خطی به صورت زیر نوشته می شود :
〖ds〗^2=-g_00 (r,t) c^2 〖dt〗^2+2g_01 (r,t)cdrdt+g_11 (r,t) 〖dr〗^2+g_22 (r,t)[〖dθ〗^2+〖sin〗^2 θdφ^2 ]
این عمومی ترین متریک برای یک فضای همسانگرد است .
همان طور که گفتیم بر اساس اصل کیهان شناختی فضا همگن است. در واقع اگر فضا حول یک نقطه همسانگرد باشد و تحت انتقال ناوردا باقی بماند همگن نیز خواهد بود.
حال بردارهای کیلینگ را برای چرخش می نویسیم [6] :
X_1=-z ∂/∂y+y ∂/∂z X_2=z ∂/∂x-x ∂/∂z X_3=-y ∂/∂x+x ∂/∂y
که در مختصات کارتزین نوشته شده است. برای مختصات قطبی کروی داریم[1] :
η_1^μ=(0 ,sinθcosφ ,1/r cosθcosφ ,-1/r sinφ/sinθ )
η_2^μ=(0 ,sinθsinφ , 1/r cosθsinφ ,1/r cosφ/sinθ)
η_3^μ=(0 ,cosθ ,-1/r sinθ ,0 )
حال اگر معادله کیلینگ را در مورد بردارهای بالا بکارببریم داریم :
g_00,1=0 → g_00=g_00 (t)
g_22 (r,t)=A(t)r^2
g_11=1/r^2 g_22=A(t) , g_01=0
می بینیم که همه عناصر غیر قطری ماتریس g_μν صفر می شوند و در نهایت می توان ds را بدست آورد.
می توان نوشت[6] :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[〖dr〗^2+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
در این رابطه ، t یک زمان “ جهانی “ است برای کل خمینه فضا-زمان. عامل a(t) یک عامل انبساطی است که بر روی عنصر فضایی متریک عمل می کند.
برای تفسیر بهتر قسمت فضایی به روش زیر عمل می کنیم.
فضای چهار بعدی را در نظر می گیریم که :
〖(x^1)〗^2+〖(x^2)〗^2+〖(x^3)〗^2+〖(x^4)〗^2= b^2
که x^μ معرف همان مختصات کارتزین است.
توجه داشته باشیم که در اینجا x^4 زمان نیست. این شبیه یک کره چهار بعدی با شعاع b^2 است.
حال معادل این را در مختصات کروی می نویسیم.
x^1=b sin⁡χ sin⁡θ cos⁡φ
x^2=b sin⁡χ sin⁡θ sin⁡φ
x^3=b sin⁡χ cos⁡θ
x^4=b cos⁡χ
مجددا برای برقراری شرط همسانگردی ( که شرط همگنی را هم در پی خواهد داشت) بردارهای کیلینگ را بدست می آوریم. این بردارها برای ناوردایی تحت چرخش که متضمن همسانگردی است عبارتند از :
ξ_1=x^2 ∂/〖∂x〗^3 -x^3 ∂/〖∂x〗^2 ξ_2=x^3 ∂/〖∂x〗^1 -x^1 ∂/〖∂x〗^3 ξ_3=x^1 ∂/〖∂x〗^2 -x^2 ∂/〖∂x〗^1
با جاگذاری برای ξ_1^μ داریم :
ξ_1^μ=sin⁡〖χ sin⁡θ 〗 sin⁡φ (0 , cos⁡χ cos⁡θ , sin⁡θ/sin⁡χ ,0 )-sin⁡χ cos⁡θ (0 ,cos⁡χ sin⁡θ sin⁡〖φ ,(cos⁡θ sin⁡φ)/sin⁡χ 〗 ,cos⁡φ/(sin⁡χ sin⁡θ ))
که در نهایت می رسیم به :
ξ_1^μ=(0 , 0 ,-sin⁡φ ,-cot⁡θ cos⁡φ )
که همان نتیجه قبلی است. به همان روش قبلی می توانیم 〖ds〗^2 را بنویسیم :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[〖dχ〗^2+〖sin〗^2 χ〖dθ〗^2+〖sin〗^2 χ〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
از آنجا که 〖sin〗^2 χ=r^2/a^2 ، که b همان شعاع کره چهار بعدی در نظر گرفته شده است، و اینکه 〖dχ〗^2=〖dr〗^2/(r^2-b^2 ) بنابراین می توان نوشت :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[dr/(1-r^2/b^2 )+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
هم چنین می توان این کره چهاربعدی را در فضای مختلط نوشت :
〖(x^4)〗^2-〖(x^1)〗^2-〖(x^2)〗^2-〖(x^3)〗^2= b^2
که در آن صورت داریم:
x^1=b sin⁡hχ sin⁡θ cos⁡φ
x^2=b sinh⁡χ sin⁡θ sin⁡φ
x^3=b sinh⁡χ cos⁡θ
x^4=b cosh⁡χ
و با جاگذاری sin→sinh وcos→cosh خواهیم داشت:
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[dr/(1+r^2/b^2 )+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
و سرانجام می توان نوشت :
〖ds〗^2=-c^2 〖dt〗^2+a^2 (t)[dr/(1-〖kr〗^2 )+r^2 〖dθ〗^2+r^2 〖sin〗^2 θ〖dφ〗^2 ]
که kمقادیر 1 و 0 و 1- را می گیرد که به ترتیب نشانگر جهانی بسته،تخت و یا باز خواهد بود.
این متریک نشان دهنده جهانی همگن وهمسانگرد است. عامل a^2 (t) توصیف کننده گسترش فضا است. این متریک به متریک رابرتسون – واکر 10 معروف است.
1-5 معادلات میدان اینشتین [6]
بی شک معادلات میدان اینشتین یکی از مهمترین عناصر تشکیل دهنده کیهان شناسی مدرن می باشد.
اینشتین به این موضوع فکر می کرد که تانسور انرژی- تکانه باید به عنوان منبع گرانش عمل کند. یا به زبان اصل ماخ11 این توزیع ماده (انرژی) است که هندسه را مشخص می کند.
او ابتدا این معادله را نوشت :
R_μν=kT_μν
R_μν تانسور انرژی – تکانه و R_μν تانسور ریچی است که معرف هندسه مورد نظر ما است.
معادله میدان اینشتین را می توان تعمیم نسبیتی معادلات لاپلاس و پوواسون ( در عدم حضور یا حضور ماده ) تلقی کرد.
در حالت خلا می توان نوشت :
R_μν=0
و اگر بخواهیم شکل معادله پوواسون را داشته باشد به این صورت زیر نوشته می شود
R_μν=kT_μν
مشکل معادله بالا این است که اگر بخواهیم قانون پایستگی را بنویسیم داریم : T_(;ν)^μν=0
اما برای R_(;ν)^μν≠0 است. بنابراین اینشتین فرم دیگری برای سمت چپ معادله خود انتخاب کرد:
G^μν=R^μν-1/2 g^μν R=kT^μν
ضریب k را هم می توان به تشابه با معادله پوواسون ∇^2 φ=4πGρ_0 ، به صورت 8πG/c^2 نوشت.
بنابراین فرم نهایی معادله اینشتین به این صورت است:

G_μν=8πG/c^2 T_μν
1-6 مدل فریدمن 12
در این قسمت می خواهیم حل معادلات اینشتین را برای متریک رابرتسون – واکر بدست آوریم.
اگر متریک مورد نظر g_μν را برای متریک رابرتسون – واکر بنویسیم، مولفه های غیر قطری صفر خواهند شد. و برای مولفه های قطری داریم[4] :
g_00=1
g_11=(-a^2)/(1-kr^2 )
g_22=-a^2 r^2
g_33=-a^2 r^2 〖sin〗^2 θ
g=g_00 g_11 g_22 g_33=-(a^6 r^4 〖sin〗^2 θ)/(1-kr^2 )
√(-g)=(a^3 r^2 sinθ)/√(1-kr^2 )
حال باید Γ ها ،یا همان ضرایب اتصال را پیدا کنیم.
Γ_kl^i=1/2 g^im (g_(ml,k)-g_(lm,k)-g_(kl,m) )=Γ_lk^i
Γ_01^1=Γ_02^2=Γ_03^3=1/c a ̇/a
Γ_11^0=(aa ̇)/(c(1-kr^2)) , Γ_22^0=(aa ̇r^2)/c , Γ_33^0=(aa ̇r^2 〖sin〗^2 θ)/c
Γ_11^1=k/(1-kr^2 ) , Γ_12^2=Γ_13^3=1/r , Γ_22^1=-r(1-kr^2)
Γ_33^1=-r(1-kr^2)〖sin〗^2 θ , Γ_33^2=-sinθcosθ , Γ_23^3=cotθ
حال به محاسبه R_μν ها می پردازیم :
R_μν=(∂^2 ln√(-g))/(∂x^μ ∂x^ν )-(∂Γ_μν^l)/(∂x^l )+Γ_μn^m Γ_νm^n-Γ_μl^l (∂ ln√(-g))/(∂x^l )
و داریم :
R_00=3/c^2 a ̈/a R_11=R_22=R_33=1/c^2 (a ̈/a+(2a ̇^2+2kc^2)/a^2 )
برای محاسبه اسکالر ریچی داریم :
R=g^μν R_μν □(⇒┴ ) R=6/c^2 (a ̈/a+(〖2a ̇〗^2+kc^2)/a^2 )
حال می توانیم G_μν را داشته باشیم :
G_μν=R_μν-1/2 Rg_μν
G_00=-3/c^2 ((a ̇^2+kc^2)/a^2 )
G_11=G_22=G_33=-1/c^2 (a ̈/a+(a ̇^2+kc^2)/a^2 )
که سمت چپ معادله اینشتین بدست می آید.
حالا باید T_μν را بدست بیاوریم. همان طور که دیدیم بنابر اصل کیهان شناختی جهان همگن است.
این بدین معنی است که توزیع ماده در جهان از توزیع یک سیال کامل تبعیت می کند وبنابراین تانسور T_μν را می توان به صورت زیر نوشت:
T_μν=p/c^2 g_μν+(ρ+p/c^2 )u_μ u_ν
که p فشار و ρ چگالی است.
و خواهیم داشت :
T_00=ρ
T_11=T_22=T_33=p/c^2
که در این جا داریم :
T_ij=0 i≠j , T_0i=0
با قرار دادن T_μν ها در سمت راست معادله اینشتین داریم :

(〖a ̇/a)〗^2=8πG/3 ρ-(KC^2)/R^2

a ̈/a=-4πG/3(ρ+3p)

معادلات فریدمن وشتاب کاربردهای مهمی در کیهان شناسی دارند.
در این فصل ما با ارائه اصل کیهان شناختی سعی کردیم تا مدل ریاضی مورد تائید این اصل را مطرح کنیم. متریک رابرتسون – واکر نیز مبتنی بر این اصل بدست می آید. سرانجام با تکیه بر این متریک، معادلات اینشتین را برای این مورد خاص حل کردیم و به معادلات فریدمن و شتاب رسیدیم.

فصل دوم
مشکلات مدل استاندارد
2-1 کیهان شناسی استاندارد
همان طور که گفته شد، کیهان شناسی به مطالعه دینامیکی ساختار عالم به عنوان یک کل علاقه مند است. از سوی دیگر یکی از اهداف کیهان شناسی یافتن پاسخی برای چگونگی آغاز جهان است.دیدگاه های متفاوتی در مورد چگونگی و نحوه بوجود آمدن کائنات در میان فیزیکدانان وجود داشته است.
اما سرانجام نظریه معروف مهبانگ یا همان انفجار بزرگ اولیه توانست توجه همگان را به سوی خود جلب کند و امروز می توان گفت که یک مدل استاندارد و پذیرفته شده برای توجیه چگونگی آفرینش عالم است.
بر اساس این نظریه عالم کنونی ما حدود چهارده میلیارد سال پیش با انفجاری بسیار بسیار بزرگ به وجود آمده است. پس از این انفجار که از نقطه ای بی نهایت داغ و متراکم شروع شده است، عالم شروع به گسترش کرده و هر آنچه که امروز وجود دارد نتیجه آن انفجار اولیه است.
همان طور که در فصل قبل دیدیم، مدل رابرتسون ـ واکر، متریکی را معرفی کرد که یک فضای متقارن کروی را توصیف می کند. بر اساس این متریک گسترش در راستای شعاعی انجام می شود و زوایای قطبی و سمتی پوشش دهنده این گسترش هستند.
اشاره کردیم که که این مدل بر اساس مشاهدات رصدی که تائید کننده همگنی وهمسانگردی عالم هستند نوشته شده است.
این مدل به مدل استاندارد مهبانگ13 معروف شده است که بر سه اصل استوار است:
اولا اینکه فرض می کنیم جهان ما در مقیاس بزرگ همگن وهمسانگرد است.
ثانیا فرض می کنیم که دینامیک فضا ـ زمان بر اساس معادله اینشتین توصیف می شود.
و سرانجام اینکه توزیع ماده توسط معادله سیال کامل توصیف می شود.
در فصل اول گفتیم که همگن بودن و همسانگرد بودن در مقیاس بزرگ برای عالم توسط مشاهدات رصدی تائید شده است وما توانستیم با تکیه بر این خاصیت معادله اینشتین را برای متریک رابرتسون ـ واکر بنویسیم.
حال می خواهیم به برخی از خصوصیات مدل استاندارد مروری داشته باشیم.
2-2 جهان در حال انبساط
شواهد محکمی وجود دارد که عالم در حال انبساط است. در این صورت در زمان های اولیه فواصل کهکشان ها از همدیگر بسیار کوچک تر از حال بوده است.
اگر ضریب مقیاسی به نام a تعریف کنیم می توانیم توصیف ساده ای از چگونگی گسترش عالم و یا همان افزایش فاصله اجزای کیهانی داشته باشیم. می توان چگونگی گسترش عالم را به صورت بسیار ساده در شکل زیر دید:
در این شکل از اصطلاح فاصله همراه comoving distance استفاده شده است. همان طور که ملاحظه می شود، فاصله همراه ثابت است اما فاصله فیزیکی ، physical distance ، با گذشت زمان افزایش می یابد.
البته باید توجه داشت که رابطه بین a و t در زمانهای مختلف ممکن است متفاوت باشد.
همان طور که در فصل قبل اشاره شد، ادوین هابل با مشاهدات رصدی خود نشان داد که عالم در حال انبساط است.
او مشاهده کرد که کهکشان های دور دست در حال فاصله گرفتن از ما هستند. همچنین او دریافت که هر چه فاصله یک کهکشان از ما بیشتر باشد، سرعت دور شدن آن از ما نیز بیشتر خواهد بود [3].
اگر فاصله فیزیکی بین دو کهکشان را با d نشان دهیم داریم d=ax که x فاصله همراه و a ضریب مقیاس است. در غیاب هرگونه حرکت همراه ، سرعت نسبی یا v=d ̇ که برابر است با ax ̇=Hd یا به عبارت دیگر:
d=ax □(⇒┴(زمانی مشتق) ) d ̇=a ̇x+ax ̇ ,a ̇x≫ax ̇
در این صورت a ̇x=Hd که a ̇x سرعت دور شدن دو کهکشان از هم است.H ثابت هابل نام دارد و برابر است با H=a ̇/a . امروزه این ثابت در حدود 70 (km⁄s)⁄MPc است.
نمودار زیر که به نمودار هابل معروف است رابطه بین سرعت دور شدن و فاصله را نشان می دهد.
نمودار 2-1 . نموداری که هابل در سال 1929 استفاده کرد. خطوط سیاه بهترین تطابق را برای نقاط سیاه نشان می دهند که با توجه به حرکت خورشید تصحیح شده اند. خطوط خط چین بهترین تطابق را برای نقاط تو خالی نشان می دهند که بدون تصحیح توسط حرکت خورشید نشان داده شده اند [7].
مقیاسی برای سرعت دور شدن را می توان با استفاده از انتقال به سرخ بدست آورد
Z+1=λ_0/λ=a_0/(a(t))
که a_0ضریب مقیاس در زمان حال و a(t) ضریب مقیاس در زمان مورد نظر است.
λ_0 طول موج مشاهده شده و λ طول موج انتشار یافته از کهکشان هدف است.
مشاهده می شود که هر چه قدر Z بزرگ باشد ، a(t) کوچک خواهد بود و در نتیجه H بزرگتر خواهد شد سرعت دور شدن هم با توجه به V=Hd بیشتر خواهد بود.
هم چنین اگر طیف مشاهده شده از یک کهکشان به سمت قرمز میل کند داریم z>0
و در این صورت a(t)>a_0 خواهد بود که نشان دهنده انبساط عالم است [7].
علاوه بر مشاهدات هابل، مدل استاندارد یا همان مدلی که بر اساس مدل فریدمن از انبساط جهان توصیف می شود، پیش گویی خوبی در مورد وجود تابش میکرو موج زمینه کیهانی و هم چنین چگونگی به وجود آمدن و فراوانی عناصر سبک در ابتدا آفرینش عالم بدست می دهد. با وجود موفقیت های این مدل در توصیف چگونگی گسترش جهان، ابهاماتی وجود دارد که بررسی آنها یا بهتر بگوییم این اشکالات در مدل استاندارد مهبانگ ضروری بنظر می رسد.
2-3 مسئله تخت بودن 14
از معادله فریدمن شروع می کنیم. اگر a ̇/a را به صورت H=a ̇/a نشان دهیم می توان معادله فریدمن را این طور نوشت:
H^2=8πGρ/3-(kc^2)/a^2
اگر c=1 قرار دهیم می توان معادله را به این صورت نوشت:
Ω-1=8πGρ/(3H^2 )-1=k/(H^2 a^2 )
Ω به پارامتر چگالی معروف است و برابر است با ρ/ρ_(c ) که ρ_c به چگالی آستانه15 معروف است.
می دانیم که در مدل استاندارد رابطه a با زمان به صورت a∝t^q است که (q<1 و به عنوان مثال q=1/2 در دوران غلبه تابش و q=2/3 در دوران غلبه ماده) بنابراین اگر در رابطه Ω-1=k/(H^2 a^2 ) ، Ω به سمت یک میل کند در آن صورت k نیز به سمت صفر میل خواهد کرد.k=0 نمایانگر حالت تخت بودن کامل فضا است. مشاهدات رصدی تائید کننده تخت بودن هستند. به عنوان مثال در دوره معروف به هسته زایی، حدود یک ثانیه پس از انفجار بزرگ اختلاف Ω با یک از مرتبه 〖10〗^(-16) و یا در زمان t≅〖10〗^(-11) ثانیه این اختلاف برابر 〖10〗^(-27) است که نشان می دهد جهان در لحظات اولیه بسیار تخت بوده است [8].
مدل استاندارد مهبانگ پاسخ قانع کننده ای به این تخت بودن یا به عبارت دیگر این تنظیم دقیق برای Ω ندارد.
2-4 مسئله افق 16
شاید یکی از اساسی ترین مشکلات در کیهان شناسی استاندارد، مسئله افق باشد. افق به بیشترین فاصله ای که توسط یک پرتو نور می تواند پوشش داده شود گفته می شود.
امواج میکرو موج پس زمینه کیهانی از تمام نقاط آسمان ساطع می شوند و نکته جالب این است که اگر به هر سمت از آسمان نگاه کنیم این امواج را با طیف تابش یک جسم سیاه در حدود 2.7 درجه کلوین می توان ردیابی و رصد کرد. شاید بتوان این گونه توجیه کرد که تمام نقاط جهان در یک تعادل گرمایی با هم هستند. اما در نظریه استاندارد مهبانگ نمیتوان چنین توجیهی را پذیرفت چرا که زمان کافی برای نقاط دوردست از هم وجود ندارد که بتوانند پیش از آنکه فوتون ها از آنها ساطع شوند به تعادل گرمایی برسند.
اگر به رابطه مقابل نگاه کنیم :
∫_(t_*)^(t_dec)▒dt/(a(t))≪∫_(t_dec)^(t_0)▒dt/(a(t))
می بینیم فاصله ای که نور می توانسته از زمان آغاز انفجار بزرگ،t_* ، تا زمان برخورد آخرین فوتون ها با ذرات که در زمان های اولیه عالم و در زمان غلبه تابش اتفاق افتاده، بسیار کوتاه تر از فاصله ای است که از زمان این تجزیه، t_dec ، تا به امروز صورت گرفته است. به عبارت دیگر زمانی که نور می توانسته قبل از آخرین برخوردها17 که در واقع همان زمان تولید تابش میکرو موج زمینه کیهانی است طی کند، بسیار کوتاه بوده و فرصتی برای هم دمایی وجود نداشته است [8].
چگونه نقاط مختلف عالم توانسته اند به این دقت و همگنی هم دما شوند و تابش CMB را در تمام نقاط به صورت یکسان داشته باشیم؟
2-5 مسئله تک قطبی مغناطیسی 18
یکی دیگر از مواردی که با پیش گویی نظریه کلاسیک انفجار بزرگ در تناقض است، مسئله تک قطبی مغناطیسی است.
نظریه وحدت بزرگ یا GUT ، وجود ذره ای با بار مغناطیسی خالص و جرم بسیار زیاد در حدود 〖10〗^16 جرم الکترون را پیش گویی می کند. یکی از شرایط به وجود آمدن چنین ذره ای حرارت بسیار بالا در حدود T=〖10〗^17 Gev است که این شرایط در زمانهای اولیه عالم وجود داشته است. اما چنین ذره ای تا کنون مشاهده نشده است [9] .
نظریه کلاسیک انفجار بزرگ با وجود موفقیت های زیاد از جمله پیش بینی و توجیه وجود تابش پس زمینه میکرو موج کیهانی و یا روند تشکیل عناصر سبک، با ابهاماتی مواجه است. نظریه تورم که در بخش بعد به آن خواهیم پرداخت می تواند توجیه مناسبی برای این ابهامات باشد.
فصل سوم
مدل تورمی “آلن گوث”، رهیافتی برای برون رفت
از مشکلات مدل استاندارد
3-1 مدل تورمی
وجود مشکلات و ابهاماتی که مدل استاندارد کیهان شناسی را درگیر کرده بود منجر به ارائه مدل تورمی شد.
اولین مدل را آلن گوث 19در سال 1980 ارائه داد [10]. از آن زمان مدل های دیگری برای تورم پیشنهاد شده اند. از آنجا که مدل گوث اولین مدل به شمار می آید امروزه به مدل تورمی قدیم20 مشهور شده است.
ایده اصلی تمام نسخه های موجود برای سناریوی جهان تورمی این است که جهان در اولین مراحل تحول خود باید در یک وضعیت خلا ناپایدار به همراه چگالی انرژی بسیار بالا بوده باشد [9]. از سوی دیگر رابطه فشار و چگالی به صورت p=-ρ است. این می تواند به این معنی باشد که بر اساس رابطه :
ρ ̇a^3+3(ρ+p) a^2 a ̇=0
چگالی انرژی خلا در طول فرآیند گسترش عالـم تغییر نمی کـند. بـه عبارت دیگر یک “تهی” ، تهی باقی می ماند حتی اگر دارای وزن باشد. اما رابطه (a ̇/a)^2+k/a^2 =8π/3 Gρ تاکید می کند که در یک زمان به اندازه کافی بزرگ t جهان باید در یک حالت ناپایدار خلا ρ>0 به صورت نمایی گسترش پیدا کند.
در آن صورت داریم:
برای k=1 (جهان بسته مدل فریدمن) a(t)=1/H cosh⁡〖(Ht)〗
برای k=0 (جهان تخت فریدمن ) a(t)=1/H e^Ht
برای k=-1 (جهان باز مدل فریدمن) a(t)=1/H sinh⁡〖(Ht)〗



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه

پاسخ دهید